Suite implicite

Soit \(f\)  la fonction définie sur \([0\ ;+\infty[\)  par \(f(x)=\text e^x+x\) .

1. Démontrer que, pour tout entier naturel  \(n\) , l'équation \(f(x)=n\)  possède une unique solution dans \([0\ ;+\infty[\) , que l'on notera \(\alpha_n\) .

2. Donner \(\alpha_1\) .

3. a. En remarquant que, pour tout entier naturel  \(n\) , \(f\left(\alpha_n\right)=n\) , démontrer que la suite \(\left(\alpha_n\right)\)  est croissante.
    b. Montrer, en raisonnant par l'absurde, que \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=+\infty\) .

4. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\)  non nul, \(\ln\left(n-\ln n\right)\leqslant\alpha_n\leqslant\ln n\) .

5. En déduire la limite de la suite \(\left(\dfrac{\alpha_n}{\ln n}\right)\) .